Chapter 13

以下是第13章的核心内容总结，使用标准Markdown和LaTeX数学公式格式：

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核心概念

1. 标准化方法

   • 估计戒烟（$A=1$） vs. 不戒烟（$A=0$）对体重增加（$Y$）的平均因果效应：

     $$E[Y^{a=1,c=0}] - E[Y^{a=0,c=0}]$$

   • 在可交换性、正性和一致性条件下，标准化均值估计反事实期望：

     $$E[Y^{a,c=0}] = \sum_l E[Y|A=a,C=0,L=l] \cdot \Pr[L=l]$$

2. 参数化g公式

   • 当协变量$L$维度高时，需用参数模型估计条件结果期望：
     • 线性回归模型：$E[Y|A=a,C=0,L=l] = \beta_0 + \beta_1 a + \beta_2^T l + \beta_3^T (a \cdot l)$
   • 标准化步骤：
     • 数据扩展：复制数据集三份（原始数据、全设$A=0$、全设$A=1$）
     • 结果建模：用原始数据拟合$E[Y|A,L]$
     • 预测：为扩展数据集插补$Y$
     • 标准化：计算$A=1$和$A=0$块的预测均值差异 → 因果效应估计

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关键结论（Fine Points）

1. 结构正性问题（Fine Point 13.1）

   • 核心结论：当$\Pr[A=a|L=l]=0$时：
     • IP加权无法识别因果效应（分母为零）
     • 标准化可通过参数模型外推（但引入模型依赖的偏倚）
   • 影响对比：
     • 标准化在正性违反时标准误更小，但偏倚可能更大

2. 双稳健估计（Fine Point 13.2）

   • Bang-Robins估计器：
     • 扩展结果模型：$E[Y|A,L,R]$，其中$R = \frac{A}{\hat{\pi}(L)} - \frac{1-A}{1-\hat{\pi}(L)}$
     • 估计$E[Y^{a}]$时预测$A=a$下的$Y$并平均
   • 性质：
     • 若处理模型$\hat{\pi}(L)$或结果模型$\hat{b}(L)$之一正确，则因果效应估计一致

3. 增强IP加权（Technical Point 13.2）

   • 估计器形式：

     $$\hat{E}[Y^{a=1}]_{DR} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left[ \frac{A_i Y_i}{\hat{\pi}(L_i)} - \frac{A_i - \hat{\pi}(L_i)}{\hat{\pi}(L_i)} \hat{b}(L_i) \right]$$

   • 二阶偏倚：偏倚取决于$(\frac{1}{\hat{\pi}} - \frac{1}{\pi}) \cdot (b - \hat{b})$

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IP加权 vs. 标准化

方法	依赖模型	高维数据表现	正性违反敏感性
IP加权	处理模型 $\Pr[A	L]$	方差大
标准化	结果模型 $E[Y	A,L]$	更稳定
双稳健	任一模型正确	最优（结合两者优势）	低

• 等价性：无模型时两者等价（Technical Point 2.3）
• 实践建议：同时使用两种方法，差异大提示模型误设

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估计可靠性（13.5节）

因果推断需满足：

1. 可交换性：无未测量混杂（$Y^a \perp\!\!\!\perp A \mid L$）
2. 正性：$\Pr[A=a|L=l] > 0 \quad \forall l$
3. 一致性：观测$Y = Y^a$当$A=a$
4. 无测量误差：$A$, $Y$, $L$准确测量
5. 模型正确指定：参数模型反映真实结构

敏感度分析必要：

• 未测量混杂（E值）、选择偏倚、模型误设需量化敏感性
• 例：戒烟效应估计$3.5$kg ($95\%\ \text{CI: } 2.6, 4.5$)，但依赖强假设

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公式符号表

符号	含义
$Y^{a,c=0}$	处理为$a$且未删失时的潜在结果
$\hat{\pi}(L)$	倾向评分估计 $\Pr[A=1|L]$
$\hat{b}(L)$	结果期望估计 $E[Y|A,L]$
$DR$	双稳健 (Doubly Robust)