正性假设(Positivity Assumption) 是什么？
正性假设（Positivity Assumption） 是因果推断中的核心假设之一，也称为 重叠假设（Overlap Assumption） 或 共同支持假设（Common Support Assumption）。其定义和重要性如下：
定义
正性假设要求：在每一个协变量 (L = l) 的组合下，所有可能的治疗 (A = a) 都有非零的分配概率。形式化表述为：
[
\text{Pr}[A = a \mid L = l] > 0 \quad \text{对所有} \quad a \text{ 和所有满足} \ \text{Pr}[L = l] > 0 \ \text{的} \ l.
]
直观解释
无“不可能”的治疗组：
对于协变量 (L) 的任何取值（例如，年龄>80岁、病情危重），每个治疗选项（如手术/药物）都必须有实际应用的记录。- ✅ 合法：年轻组（(L=0)）中，50%手术（(A=1)）、50%药物（(A=0)）。
- ❌ 违背：老年组（(L=1)）中，所有患者均未手术（(\text{Pr}[A=1|L=1]=0)）→ 无法估计手术在该组的因果效应。
数据必须覆盖所有场景：
协变量 (L) 的每个子群体中，需同时存在接受治疗和未治疗的个体（如图示）：病情严重度（(L)） 治疗（(A=1)） 未治疗（(A=0)） 非危重（(L=0)） 4人 4人 危重（(L=1)） 9人 3人
为什么必须满足？
若正性被违背，因果效应无法识别：
标准化（Standardization）失效：
若某层 (L=l) 中无人接受治疗（如 (\text{Pr}[A=1|L=l]=0)），则反事实风险 (\text{Pr}[Y^{a=1}=1 \mid L=l]) 无法计算（因无观测数据）。逆概率加权（IPW）失效：
权重 (W^A = 1/\text{Pr}[A|L]) 在 (\text{Pr}[A|L]=0) 时趋于无穷大 → 伪总体无法构建。
实际中的挑战
结构性违背：
某些群体天然无法接受特定治疗（如晚期患者被排除手术）。
→ 解决方案：明确因果问题（如仅估计“适合手术者”的效应）。随机性违背：
小样本中，某些 (L) 层可能巧合缺乏治疗变异（如100人中仅有1名高龄患者且未手术）。
→ 解决方案：- 使用倾向得分截断（Trimming）或分层（Stratification）。
- 扩大样本量。
与其他假设的关系
正性假设需与以下假设同时成立，才能识别因果效应：
- 条件交换性（Exchangeability）：(Y^a \perp!!!\perp A \mid L)
- 一致性（Consistency）：(A = a \implies Y = Y^a)
- 无测量误差（隐含假设）
章节中的实例
在条件随机化实验（表2.2）中：
- 非危重组（(L=0)）：(\text{Pr}[A=1|L=0] = 0.5 > 0)
- 危重组（(L=1)）：(\text{Pr}[A=1|L=1] = 0.75 > 0)
→ 正性成立，故标准化和IPW能计算总体因果效应（风险比=1）。
⚠️ 若危重组永远不治疗（(\text{Pr}[A=1|L=1]=0)），则无法回答“若全体接受治疗会如何”。
正性假设的本质是要求数据必须提供足够信息，以模拟所有反事实场景。它是连接观测数据与因果问题的桥梁之一。