Chapter 14: G-Estimation of Structural Nested Models

本章主要内容为结构嵌套均值模型（SNMM, Structural Nested Mean Models）的g估计（g-estimation），它是三种g方法之一（g-methods，另两种为IP 加权和标准化），用于估计因果效应，特别适合处理时间变化的处理方案，但本章通过固定处理的例子来讲解g-估计的思想和细节。

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1. 因果问题回顾 / Causal Question Revisited

主要内容

• 假设研究戒烟（$A$，1 表示戒烟，0 表示未戒烟）对体重增加（$Y$）的平均因果效应。
• 假设条件交换性在协变量 $L$（性别、年龄、种族、教育、吸烟强度/年限、活动、体重等）成立。
• 有兴趣的量：

  $$\text{Average Causal Effect} = E[Y^{a=1, c=0}] - E[Y^{a=0, c=0}]$$

  可条件化到子群，比如 $E[Y^{a=1, c=0} \mid \text{age}=45] - E[Y^{a=0, c=0} \mid \text{age}=45]$。

结论

• 可用边际结构模型（MSM）、标准化或g估计估算群体或某子集合的平均因果效应。

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2. 条件交换性回顾 / Exchangeability Revisited

主要内容

• 条件交换性（analogous to conditional ignorability）核心表达：

  $$Y^a \perp A \mid L, \quad \text{for both } a=0,1$$

  也即：

  $$Pr[A=1 \mid Y^{a=0}, L] = Pr[A=1 \mid L]$$

• 可用如下logistic模型表述（$A$为二元）：

  $$\logit Pr[A=1 \mid Y^{a=0}, L] = \alpha_0 + \alpha_1 Y^{a=0} + \alpha_2 L$$

技术要点

• 在 $Y^{a=0}$ 真正独立于 $A$ 时，$\alpha_1=0$。g估计正是通过寻找$\alpha_1=0$的参数值实现的。

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3. 结构嵌套均值模型 / Structural Nested Mean Models (SNMM)

主要内容

• 兴趣在于各$L$层次下的平均因果效应

  $$E[Y^{a=1} - Y^{a=0} \mid L] = E[Y^{a=1} \mid L] - E[Y^{a=0} \mid L]$$

• 没有交互作用（effect-modification）时，因果效应在$L$内恒定：

  $$E[Y^{a} - Y^{a=0} \mid L] = \beta_1 a$$

• 有效应修饰时，加乘项：

  $$E[Y^{a} - Y^{a=0} \mid L] = \beta_1 a + \beta_2 aL$$

和MSM关系

• 不指定$E[Y^{a=0} \mid V]$（$V$为协变量）参数的半参数MSM和SNMM有等价表达。
• "Fine Point 14.1" 细节：关注$\beta_1 a + \beta_2 aV$的估计时（只关心平均效应，不关心未处理下均值），半参数模型更鲁棒。

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4. 选择偏倚与g估计的配合 / Censoring and G-Estimation

重点

• g估计只校正混杂，不可直接校正选择（删失）偏倚。需对删失用IP加权后，再行g估计。
• 非稳定型IP权重（如$W^C = 1/\Pr[C=0|L,A]$）用于创建“去删失伪总体”。

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5. SNMM其他类型与技术点 / SNMM Variants and Technical Points

Technical Point 14.1

• 乘法结构嵌套均值模型（Multiplicative SNMMs），适用于$Y>0$。
• 形式：

  $$\log \left( \frac{E[Y^a|A=a,L]}{E[Y^{a=0}|A=a,L]} \right) = \beta_1 a + \beta_2 aL$$

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6. 秩保留 (Rank Preservation) 概念

主要内容

• 若每个$L$分层内干预效应对所有人都相同，则序列/排名不会因$A$而改变——这就是秩保留。
• 更现实的情况：秩保留不成立，$A$效应因人而异（不要求个人因果效应恒定）。

结论：SNMM和g估计不要求秩保留成立。

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7. g-估计核心方法论 / Core Method: G-Estimation

基本步骤

1. 假设结构嵌套模型 $Y^a - Y^{a=0} = \psi_1 a$。
2. 用一致性原则，将未观察到的$Y^a$用观测变量和$A$表达，得到：

   $$Y^{a=0} = Y - \psi_1 A$$

   构造一系列$H(\psi^\dagger) = Y - \psi^\dagger A$作为候选$Y^{a=0}$。
3. 在每个$\psi^\dagger$下拟合

   $$\logit Pr[A=1 \mid H(\psi^\dagger), L] = \alpha_0 + \alpha_1 H(\psi^\dagger) + \alpha_2 L$$

   找到$\hat{\psi}_1$使得$\hat{\alpha}_1 = 0$（$H(\psi_1)$与$A$在$L$下独立）。
4. 置信区间：对于$\psi^\dagger$，检验$\hat{\alpha}_1=0$的P值大于0.05所对应区间。

技术要点

• 截至点 $\hat{\psi}_1$ 是平均因果效应的g估计。
• 配合删失用IP权重。置信区间可用bootstrap。

灵敏度分析（Fine Point 14.2）

• 若$L$不全，$\alpha_1 \neq 0$。g估计可设$\alpha_1$为已知非零常数，做灵敏度分析（系统研究未观测混杂影响）。

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8. g-估计多参数与计算 / Multivariate G-Estimation

• 对模型 $E[Y^a - Y^{a=0} |A=a, L] = \beta_1 a + \beta_2 aV$，$H(\beta^\dagger) = Y - \beta^\dagger_1 A - \beta^\dagger_2 AV$。

• Logistic 模型

  $$\logit Pr[A=1 \mid H(\beta^\dagger), L] = \alpha_0 + \alpha_1 H(\beta^\dagger) + \alpha_2 H(\beta^\dagger) V + \alpha_3 L$$

  寻找使$\alpha_1 = \alpha_2 = 0$的参数（多维搜索）。

• 对线性模型，$\beta$ 可用封闭解直接算出，无需遍历（见Technical Point 14.2）。

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9. Technical Point 14.2: 估计算法与可封闭式

对于 $E[Y - Y^{a=0} |A,L] = A\gamma(L; \beta)$ 结构嵌套均值模型，g估计即找到$\beta$使得

$$\sum_{i=1}^n I[C_i=0] W^C_i H_i(\beta^\dagger)(A_i - E[A|L_i]) q(L_i) = 0$$

其中 $H_i(\beta^\dagger) = Y_i - A_i \gamma(L_i; \beta^\dagger)$，$q(L_i)$是与$\beta$同维的函数。

• 若$\gamma$关于$\beta$为线性，且$q(L) = d(L)$，直接解封闭式

  $$\hat{\beta} = \left[ \sum_{i=1}^n I[C_i = 0] W^C_i A_i (A_i - E[A \mid L_i]) d(L_i) d(L_i)^T \right]^{-1} \sum_{i=1}^n I[C_i = 0] W^C_i Y_i (A_i - E[A \mid L_i]) d(L_i)$$

• 增加统计效率需合理选择$q(L)$（效率极大化）。
• 双重鲁棒性（doubly robust）：用 $H(\beta^\dagger) - E[H(\beta^\dagger) | L]$ 替换$H(\beta^\dagger)$，如果 $E[H(\beta^\dagger) | L]$或用于$E[A|L]$、删失概率的模型正确，则估计量依然一致。

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10. 更高维度建模与Bias问题

• SNMM 主动建模的是$L$层次下的因果效应，少加产品项会bias（MSM不会）。
• SNMM 可以灵活设定各交互（如 $aL_j$），但必须包含所有效应修改项，否则有模型偏倚。
• 平均因果效应可由所有层次加权平均得出。

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全章总结 / Summary Table

主题	公式/操作	要点中文版	Key Points (English)
因果效应定义	$E[Y^{a=1, c=0}] - E[Y^{a=0, c=0}]$	体重因果效应定义，条件于协变量L	Causal effect estimation, marginal or conditional
条件交换性/等价表述	$Y^a \perp A	L$ $Pr[A=1	Y^{a=0},L] = Pr[A=1
SNMM基本模型	$E[Y^a - Y^	L]=\beta_1 a + \beta_2 aL$	SNMM半参数，主估计目标
g-估计核心	构造 $H(\psi^\dagger) = Y - \psi^\dagger A$，在logit回归中找$\alpha_1=0$	逐一检验$\psi^\dagger$，$\alpha_1=0$对应g估计	Estimate parameter where confounder-adjusted association is zero
SNMM高阶参数	多参数$\beta$，更复杂$H(\beta^\dagger)= Y -\beta_1^\dagger A - \beta_2^\dagger AV$	多参数g估计，需多维搜索/优化	G-estimation for multiple parameters via optimization
g-估计等式（封闭解）	见Technical Point 14.2	线性情形下“封闭式(g-formula)”	Closed-form solution for linear SNMM
置信区间方法	反复检验使$\alpha_1=0$，P值>0.05区间就是CI	inversion or bootstrap法	Wald test or bootstrap for CI
敏感度分析	测不同$\alpha_1$下g估计robustness	可定量评估未观测混杂下g估计的敏感度	Sensitivity analysis for unmeasured confounding
选择偏倚与删失调整	先IP加权删失，再g估计	g估计本身不校正选择偏倚	G-estimation must adjust for censoring first
SNMM与MSM对比	参见Fine Point 14.1	MSM更弹性，不容易模型错指定，SNMM必需所有交互	MSM robust for effect modification, SNMM requires correct interactions

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结论与实践指引 / Conclusions and Practical Guidance

• g估计提供了一种利用假想“无处理”下的 counterfactual 的方法，核心是找参数使在L下新构造变量与A独立。
• SNMM兼容异质效应，但多参数时要全面建模；
• g估计具有灵敏性分析能力，对未观测混杂可做系统性偏差评估；
• 具体实现时可用反复拟合logistic模型（或评分方程闭式解）得到g估计点与置信区间；
• 需在正确处理选择偏倚（删失）的情况下使用g估计，否则结果无法解释为因果效应。

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推荐阅读

• Robins(1994, 2000) 结构嵌套模型理论基础；
• 《因果推断：What If?》本章及相关章节，掌握g方法、MSM、IP权重法等完整工具箱。

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