Chapter_10

### 第10章 随机变异性 (RANDOM VARIABILITY) #### **核心概念** 1. **系统偏倚 vs. 随机变异性** - 因果推断错误的两大原因： - **系统偏倚**（混杂、选择偏倚、测量偏倚） - **随机变异性**（小样本导致的偶然变异） - 随机变异性在小样本中会稀释效应估计（如盲人行人例子：处理组50%个体对处理无反应）。

2. 识别 (Identification) vs. 估计 (Estimation)
   • 识别：在无限大研究人群中计算因果效应（忽略随机变异），需满足：
     • 可交换性 (Exchangeability)
     • 正值性 (Positivity)
     • 一致性 (Consistency)
   • 估计：在有限样本中推断超总体 (super-population) 参数，需处理随机变异。

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10.1 识别与估计

技术要点 (Technical Points)

1. 估计目标与估计量

   • 估计目标 (Estimand)：超总体参数（如 $Pr[Y=1|A=a]$）。
   • 估计量 (Estimator)：从样本数据计算估计目标的规则（如样本比例 $\widehat{Pr}[Y=1|A=a]$）。
   • 估计值 (Estimate)：特定样本的数值结果（如 $7/13$）。

2. 一致性 (Consistency)

   • 当样本量 $n \to \infty$ 时，估计量收敛于估计目标：

     $$\lim_{n \to \infty} Pr\left( \left| \widehat{Pr}[Y=1|A=a] - Pr[Y=1|A=a] \right| > \epsilon \right) = 0$$

3. 置信区间 (Confidence Intervals)

   • Wald 95% 置信区间：

     $$\hat{\theta} \pm 1.96 \cdot \widehat{se}(\hat{\theta})$$

     其中 $\widehat{se}(\hat{\theta})$ 是标准误估计值（如二项分布标准误 = $\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$）。
   • 性质：
     • 校准 (Calibrated)：覆盖真实参数的概率为95%。
     • 保守 (Conservative)：覆盖概率 >95%。
     • 有效 (Valid)：覆盖概率至少95%（校准或保守）。
   • 频率学派解释：置信区间不表示参数位于区间内的概率，而是重复抽样中覆盖参数的频率。

4. 诚实区间 (Honest Intervals)

   • 要求存在样本量 $n$，使得无论参数真实值如何，覆盖概率至少95%（Robins & Ritov, 1997）。

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10.2 因果效应估计

技术要点

1. 随机试验中的估计

   • 超总体中满足可交换性时：
     • 因果风险差 $Pr[Y^{a=1}=1] - Pr[Y^{a=0}=1] = Pr[Y=1|A=1] - Pr[Y=1|A=0]$。
     • 样本风险差 $\widehat{Pr}[Y=1|A=1] - \widehat{Pr}[Y=1|A=0]$ 是无偏估计量。

2. 置信区间计算

   • 风险差：$(7/13) - (3/7)$
   • 风险比：$(7/13)/(3/7)$
   • 标准化、IP加权等方法适用于观察性研究。

3. 随机化推断 (Randomization-Based Inference)

   • 若仅研究样本随机化（无超总体），需考虑样本内偶然混杂。

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10.3 超总体迷思 (The Myth of the Super-Population)

细节要点 (Fine Points)

1. 二项置信区间的两种场景

   • 场景1：研究样本来自无限超总体（隐含假设）。
   • 场景2：个体有相同反事实概率 $p_i^{a=1} = p$（现实中不成立，因个体风险异质性）。
   • 结论：报告二项置信区间者默认场景1。

2. 超总体的作用

   • 优点：简化统计方法，便于推广 (generalization)。
   • 局限：超总体是虚构概念；置信区间解释为反事实陈述 ("what-if")。

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10.4 条件性原则 (The Conditionality Principle)

技术要点

1. 协变量调整的必要性

   • 例子：随机试验中偶然出现吸烟 ($L$) 与处理 ($A$) 相关（表10.2）。
     • 未调整风险差：$-0.15$
     • 分层调整后风险差：$0$（各层无效应）。
   • 条件性原则：应以辅助统计量（如 $L-A$ 关联）为条件进行推断。

2. 辅助统计量 (Ancillary Statistic)

   • 精确辅助统计量：分布已知且不影响目标参数（如随机试验中 $A$ 和 $L$ 的联合分布）。
   • 调整估计量优势：
     • 条件无偏 (Conditionally unbiased)。
     • 无条件更高效 (Unconditionally efficient)。

技术点 10.4 (Technical Point 10.4)

• 当 $L$ 是 $Y$ 的风险因子时，调整估计量 (如 MLE) 优于未调整估计量：

  $$\text{aVar}(\widehat{RD}_{MLE}) = \text{aVar}(\widehat{RD}_{UN}) - \left[ \text{aCov}(S, \widehat{RD}_{UN}) \right]^2$$

  其中 $S$ 量化 $A-L$ 关联。

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10.5 维数灾难 (The Curse of Dimensionality)

技术要点

1. 高维数据问题

   • 当协变量 $L$ 的层数（如 $2^{100}$）远大于样本量（$n=240$）：
     • 调整后置信区间过宽（如 $[-1, 1]$），失去信息性。
     • 未调整估计量仍保持较窄区间（如 $[-0.26, -0.04]$）。

2. 条件性原则的局限

   • 协变量较少时：调整估计量更优。
   • 高维时：严格遵循条件性导致估计不精确。

技术点 10.6 (Technical Point 10.6)

• 解决方案：利用先验信息构建高效无偏估计量（见第18章）。

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结论 (Conclusions)

1. 随机变异性是因果推断的核心挑战，需通过置信区间量化不确定性。
2. 超总体概念是简化统计推断的实用工具，但本质是虚构。
3. 条件性原则在低维数据中优先选择调整估计量；高维数据需权衡偏差与精度。
4. 维数灾难要求发展新方法（如正则化、机器学习），在后续章节讨论。

注：所有数学公式严格按原义以 $\LaTeX$ 格式呈现，技术术语保留英文并附中文释义（如 估计目标 (Estimand)）。