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Chapter_14

Aaron L9/17/25About 8 minCausal inferenceDeepSeek-R1-0528-1stresponse_md
### 第14章总结：结构嵌套模型的G估计

章节逻辑结构

  1. 14.1 因果问题回顾

    • 目标：估计戒烟（处理 (A)）对体重增加（结果 (Y)) 的条件平均因果效应 (E[Y^{a=1,c=0}|L] - E[Y^{a=0,c=0}|L])，其中 (L) 为混杂变量（性别、年龄、种族等）。
    • 子群体分析：可通过边际结构模型（含乘积项）或标准化方法估计特定子群（如年龄=45）的效应。
    • 数据：NHEFS 观测数据（(n=1566)），调整混杂和删失（(C=0) 表示未失访）。

  2. 14.2 可交换性再探

    • 核心定义：条件可交换性 (Y^a \perp!!!\perp A \mid L) 等价于：
      [
      \Pr[A=1 \mid Y^{a=0}, L] = \Pr[A=1 \mid L]
      ]
    • Logistic 模型：
      [
      \text{logit} \Pr[A=1 \mid Y^{a=0}, L] = \alpha_0 + \alpha_1 Y^{a=0} + \alpha_2 L
      ]
      若可交换性成立，则 (\alpha_1 = 0)（反事实 (Y^{a=0}) 不预测处理分配 (A)）。

  3. 14.3 结构嵌套均值模型（SNMM）

    • 模型形式：
      [
      E[Y^a - Y^{a=0} \mid A=a, L] = \beta_1 a + \beta_2 a L
      ]
      • (\beta_1, \beta_2) 量化 (A) 对 (Y) 在 ((A,L)) 层内的平均因果效应。
      • 半参数特性：不指定截距 (\beta_0) 和 (L) 的主效应 (\beta_3 L)，较参数化 g-公式更稳健。
    • 删失调整：
      • G 估计仅处理混杂，需先用 IP 权重 (W^C = 1/\Pr[C=0 \mid L,A]) 调整删失偏倚（创建伪总体）。
    • 精细点 14.1：
      • 半参数边际结构模型 (E[Y^a - Y^{a=0} \mid V] = \beta_1 a + \beta_2 a V) 与 SNMM 等价（当 (V \subset L) 时）。
    • 技术点 14.1：
      • 乘性 SNMM（用于正值结局）：
        [
        \log \left( \frac{E[Y^a \mid A=a, L]}{E[Y^{a=0} \mid A=a, L]} \right) = \beta_1 a + \beta_2 a L
        ]

  4. 14.4 秩保持

    • 秩保持模型：
      [
      Y_i^a - Y_i^{a=0} = \psi_1 a + \psi_2 a L_i \quad (\forall i)
      ]
      • 假设个体因果效应在 (L) 层内恒定（如戒烟使所有人增重 (\psi_1 + \psi_2 L_i) kg）。
    • 非现实性：个体效应存在异质性（如图 14.3），但引入以简化 G 估计理解。
    • 关键点：SNMM 本身不要求秩保持，仅估计层内平均因果效应。

  5. 14.5 G估计

    • 步骤：
      1. 构建候选反事实 (H(\psi^\dagger) = Y - \psi^\dagger A)（基于秩保持模型 (Y^{a=0} = Y - \psi_1 A)）。
      2. 搜索 (\psi^\dagger) 使得 (H(\psi^\dagger)) 与 (A) 独立（给定 (L)）：
        [
        \text{logit} \Pr[A=1 \mid H(\psi^\dagger), L] = \alpha_0 + \alpha_1 H(\psi^\dagger) + \alpha_2 L
        ]
        解 (\alpha_1 = 0) 的 (\psi^\dagger) 即为估计 (\hat{\psi}_1)。
      3. 删失调整：仅对未删失个体（(C=0)）分析，权重为 (W^C)。
    • 置信区间：
      • 反转检验：95% CI 为满足 (\alpha_1 = 0) 的检验 (p>0.05) 的 (\psi^\dagger) 集合。
      • 保守性：因使用 IP 权重，大样本下置信水平 (\geq 95%)。
    • 精细点 14.2：
      • 未测量混杂敏感性分析：若可交换性不成立（(\alpha_1 \neq 0)），可假设 (\alpha_1) 取值并重复 G 估计。

  6. 14.6 多参数 SNMM

    • 模型扩展：
      [
      E[Y^a - Y^{a=0} \mid A=a, L] = \beta_1 a + \beta_2 a V \quad (V \subset L)
      ]
    • G 估计：
      • 搜索 ((\beta_1^\dagger, \beta_2^\dagger)) 使 (H(\beta^\dagger) = Y - \beta_1^\dagger A - \beta_2^\dagger A V) 满足：
        [
        \alpha_1 = \alpha_2 = 0 \quad \text{in} \quad \text{logit} \Pr[A=1 \mid H(\beta^\dagger), V, L]
        ]
      • 闭式解：线性 SNMM 可通过估计方程直接求解（技术点 14.2）。
    • 模型误指定风险：若忽略效应修饰（如未包含 (\beta_2 a V)），估计有偏。

技术点 14.2：G 估计的估计方程

  • 估计方程：
    [
    \sum_{i=1}^n I[C_i=0] W_i^C H_i(\beta^\dagger) (A_i - E[A \mid L_i]) q(L_i) = 0
    ]
    • (H_i(\beta^\dagger) = Y_i - A_i \gamma(L_i; \beta^\dagger))，(\gamma(L; \beta^\dagger)) 为 SNMM 指定函数。
    • (q(L_i)) 为用户指定函数（影响效率但不影响一致性）。
  • 双稳健性：若指定 (E[H(\beta^\dagger) \mid L]) 或同时正确指定 (E[A \mid L]) 和 (\Pr[C=0 \mid A,L])，则估计一致。

结论

  1. G 估计原理：利用反事实结果 (Y^{a=0}) 与处理 (A) 的条件独立性（给定 (L)）估计 SNMM 参数，核心为求解 (\alpha_1 = 0)。
  2. 优势：
    • 半参数特性：不建模 (E[Y^{a=0} \mid L])，较参数方法更稳健。
    • 可处理连续处理和多参数模型。
    • 支持未测量混杂的敏感性分析。
  3. 局限：
    • 需 IP 权重调整删失偏倚。
    • 忽略效应修饰时模型易误指定。
  4. 与其他方法关系：
    • 与 IP 加权、标准化并称 g-methods。
    • SNMM 估计 (L)-条件效应，而边际结构模型估计总体或 (V)-条件效应。

所有技术术语（如 g-methods, SNMM, rank preservation）保留英文以确保准确性，数学公式按标准 LaTeX 格式呈现。