Chapter_21

### 第21章总结：时变处理的G-方法 本章解决传统方法在存在**治疗-混杂因素反馈**（treatment-confounder feedback）的时变处理中的偏倚问题，引入三类**G-方法**（g-formula、IP加权、g-估计及其双重稳健推广）作为解决方案。所有方法均基于可识别性条件（序贯可交换性、正值性、一致性），并在模拟数据集（表21.1）中成功估计零效应（真实效应为0），而传统方法失败。

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21.1 时变处理的G-公式

核心思想：通过标准化协变量分布计算反事实均值 (E[Y^{\bar{a}}])。
技术要点：

1. 公式结构：

   • 对于时变处理 (\bar{A} = (A_0, A_1, \dots, A_K)) 和时变协变量 (\bar{L})：

     $$E[Y^{\bar{a}}] = \sum_{\bar{l}} E[Y \mid \bar{A} = \bar{a}, \bar{L} = \bar{l}] \prod_{k=0}^K f(l_k \mid \bar{a}_{k-1}, \bar{l}_{k-1})$$

     其中 (\bar{l}_{k-1}) 是截至时间 (k-1) 的协变量历史，求和遍历所有可能的 (\bar{l}) 路径。
   • 关键区别：需条件于既往治疗和协变量历史（时固定处理无需此步骤）。

2. 可计算性条件：

   • 正值性：若 (f(l_k \mid \bar{a}{k-1}, \bar{l}) > 0)，则需存在个体满足 ((\bar{A} = \bar{a}, \bar{L} = \bar{l}))。

3. 应用示例（表21.1数据）：

   • "从不治疗"策略（(a_0=0, a_1=0)）：

     $$\hat{E}[Y^{0,0}] = 84 \times 0.25 + 52 \times 0.75 = 60$$

   • "始终治疗"策略（(a_0=1, a_1=1)）：

     $$\hat{E}[Y^{1,1}] = 76 \times 0.5 + 44 \times 0.5 = 60$$

     因果效应估计值：(60 - 60 = 0)（正确）。

4. 注意事项：

   • 必须包含所有混杂因子（如忽略 (L_1) 会丧失因果解释）。
   • 即使整体公式有因果解释，其组分（如 (E[Y \mid A, L])）可能无因果意义。

结论：G-公式通过模拟反事实世界（图21.1–21.2）解决传统方法的偏倚。

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21.2 时变处理的IP加权

核心思想：创建伪总体（pseudo-population），其中治疗分配与混杂因素无关。
技术要点：

1. 权重定义：

   • 非稳定权重：

     $$W^{\bar{A}} = \prod_{k=0}^K \frac{1}{f(A_k \mid \bar{A}_{k-1}, \bar{L}_k)}$$

   • 稳定权重：

     $$SW^{\bar{A}} = \prod_{k=0}^K \frac{f(A_k \mid \bar{A}_{k-1})}{f(A_k \mid \bar{A}_{k-1}, \bar{L}_k)}$$

2. 估计反事实均值：

   • 在伪总体中，(E[Y^{\bar{a}}] = E_{\text{ps}}[Y \mid \bar{A} = \bar{a}])（即按权重加权后 (\bar{A} = \bar{a}) 组的 (Y) 均值）。

3. 应用示例（表21.1）：

   • 非稳定权重下，(\hat{E}[Y^{0,0}] = \hat{E}[Y^{1,1}] = 60)，效应估计为0（图21.3）。

4. 边际结构模型（MSM）：

   • 处理高维策略：拟合饱和或非饱和模型（如 (E[Y^{\bar{a}}] = \beta_0 + \beta_1 \text{cum}(\bar{a}))）。
   • 使用加权最小二乘法（WLS）估计参数，权重为 (SW^{\bar{A}}) 或 (W^{\bar{A}})。

结论：IP加权与G-公式等价，但更易处理高维数据，且不受g-null悖论影响（技术点21.3）。

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21.3 双重稳健估计器

核心思想：结合治疗模型和结局模型，任一正确即可获得无偏估计。
技术要点：

1. 三步法（以"始终治疗"策略 (\bar{a}=1) 为例）：

   • 步骤1：估计治疗概率 (\pi_k = \Pr(A_k=1 \mid \bar{A}_{k-1}=1, \bar{L}_k))。
   • 步骤2：从时间 (K) 到 (0) 拟合序列回归模型，加入IP权重作为协变量。
   • 步骤3：计算所有个体的 (B_0) 样本均值作为 (\hat{E}[Y^{\bar{a}}])。

2. 多重稳健性：

   • 双重稳健：若所有治疗模型或所有结局模型正确，则估计无偏。
   • K+2稳健：对任意 (m)，若时间 (0) 至 (m) 的治疗模型和时间 (m+1) 至 (K) 的结局模型正确，则无偏。

结论：双重稳健方法（如TMLE）在高维数据中提供更强的鲁棒性（技术点21.4–21.6）。

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21.4 时变处理的G-估计

核心思想：通过结构嵌套均值模型（SNMM）估计处理效应，消除时变混杂偏倚。
技术要点：

1. 模型结构：

   • 例如两时间点模型：
     • 时间 (k=0)： (E[Y^{a_0,0} - Y^{0,0} \mid A_0=a_0] = \beta_0 a_0)
     • 时间 (k=1)： (E[Y^{a_0,a_1} - Y^{a_0,0} \mid L_1}, A_0=a_0] = a_1(\beta_{11} + \beta_{12} L_1 + \cdots))

2. G-估计步骤：

   • 构造候选反事实 (H_k(\psi^\dagger))（如 (H_1(\psi) = Y - A_1(\psi_{11} + \psi_{12} L_1 + \cdots))）。
   • 求解 (\psi) 使得治疗概率模型中的 (H_k(\psi)) 系数为0（技术点21.8）。

3. 反事实均值估计：

   • (E[Y^0]) 由 (H_0(\hat{\beta})) 的样本均值估计。
   • 动态策略需蒙特卡洛模拟（技术点21.9）。

结论：G-估计适用于复杂模型，且保留零效应下的无偏性。

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21.5 删失作为时变处理

核心思想：将删失视为额外时变处理，扩展G-方法。
技术要点：

1. IP加权调整：

   • 非稳定权重：

     $$W^{\bar{C}} = \prod_{k=1}^{K+1} \frac{1}{\Pr(C_k=0 \mid \bar{C}_{k-1}=0, \bar{A}_{k-1}, \bar{L}_{k-1})}$$

   • 联合处理 ((\bar{A}, \bar{C})) 的权重为 (W^{\bar{A}} \times W^{\bar{C}})。

2. G-公式调整：

   • 所有项条件于未删失状态（(\bar{C} = \bar{0})）。

结论：调整后可估计 (E[Y^{\bar{a}, \bar{c}=\bar{0}}])（即无删失时的因果效应）。

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21.6 广义G-公式

核心思想：在包含未测变量的因果DAG下，G-公式可推广为广义G-公式（big g-formula）。
技术要点：

• 若所有变量（含未测 (U)）已知，则广义G-公式可识别 (E[Y^g])。
• 前门准则等非混杂场景是广义G-公式的特例（技术点21.11–21.12）。

结论：不同识别条件（如序贯可交换性、前门准则）数学上统一于广义G-公式框架。

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关键图表

• 表21.1：时变处理实验数据（8组，样本量、(A_0, L_1, A_1, Y) 均值）。
• 图21.1：观测数据的因果树图。
• 图21.2："始终治疗"策略的反事实树图。
• 图21.3：IP加权伪总体树图（含权重 (W^{\bar{A}}) 和伪总体大小）。
• 图21.4：生存分析中时变处理的因果图（含删失）。

注：所有方法均依赖可识别性条件（序贯可交换性、正值性、一致性）。实际应用中需警惕模型误设，建议结合多种方法（如G-公式与IP加权）验证结果。