Chapter_19

### 第19章：时变处理（TIME-VARYING TREATMENTS）总结

19.1 时变处理的因果效应

• 核心问题：传统固定处理（time-fixed treatments）的因果效应定义（如 $E[Y^{a=1}] - E[Y^{a=0}]$）不适用于时变处理（time-varying treatments），因处理状态随时间动态变化。
• 关键定义：
  • $A_k$：时间点 $k$ 的二值处理变量（如抗病毒治疗：$A_k=1$ 治疗，$A_k=0$ 不治疗）。
  • $\bar{A}_k = (A_0, A_1, \dots, A_k)$：从时间 $0$ 到 $k$ 的处理历史（treatment history）。
  • $\bar{A} = \bar{A}_K$：整个随访期（$K=59$ 个月）的处理历史。
  • 反事实结果 $Y^{\bar{a}}$：遵循策略 $\bar{a}$ 的结局（如持续治疗 $\bar{a}=\bar{1}$，从不治疗 $\bar{a}=\bar{0}$）。
• 技术难点：
  时变处理的因果效应需定义为策略对比（如 $E[Y^{\bar{a}}] - E[Y^{\bar{a}'}]$），而非单时间点对比（如 $E[Y^{a_k=1}] - E[Y^{a_k=0}]$ 仅量化 $A_k$ 的瞬时效应）。

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19.2 处理策略（Treatment Strategies）

• 策略类型：
  • 静态策略（Static strategy）：处理分配仅依赖时间，不依赖协变量（如 $\bar{a}=(1,0,1,\dots)$）。
  • 动态策略（Dynamic strategy）：处理分配依赖时变协变量 $\bar{L}_k$（如“当 $L_k$（CD4计数）<阈值时治疗”）。
  • 随机策略（Random strategy）：分配处理值概率（静态或动态）。
• 因果效应定义：
  时变处理的因果效应非唯一，需指定对比的策略对（如“始终治疗 vs. 从不治疗”或“动态策略 vs. 静态策略”）。
• 数学表达：
  • 最优策略：最大化 $E[Y^g]$ 的确定性策略 $g$（通常为动态策略）。
  • 策略数量：二值处理下，静态策略有 $2^K$ 种，动态策略更多。

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19.3 序贯随机化实验（Sequentially Randomized Experiments）

• 设计：在每时刻 $k$，$A_k$ 以依赖 $(\bar{A}_{k-1}, \bar{L}_k)$ 的概率随机分配。
• 因果图分类（关键图示：图19.1–19.3）：
  • 图19.1：无混杂（$A_k$ 仅依赖 $\bar{A}_{k-1}$，无 $L_k$ 或 $U_k$ 影响）。
  • 图19.2：有测混杂（$A_k$ 依赖 $\bar{L}_k$，无 $U_k$ 影响）。
  • 图19.3：未测混杂（$A_k$ 依赖 $U_k$）。
• 可识别性：
  • 图19.1或19.2：可估计所有策略 $g$ 的 $E[Y^g]$。
  • 图19.3：不可识别（存在未测混杂）。

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19.4 序贯可交换性（Sequential Exchangeability）

• 核心条件：推广时间固定处理的交换性 $Y^a \perp\!\!\!\perp A \mid L$ 至时变场景：

  $$Y^g \perp\!\!\!\perp A_k \mid \bar{A}_{k-1} = g(\bar{A}_{k-2}, \bar{L}_{k-1}), \bar{L}_k \quad \forall k=0,1,\dots,K$$

• 辅助条件：
  • 正性（Positivity）：
    $f_{\bar{A}_{k-1},\bar{L}_k}(\bar{a}_{k-1},\bar{l}_k) \neq 0 \implies f_{A_k \mid \bar{A}_{k-1},\bar{L}_k}(a_k \mid \bar{a}_{k-1}, \bar{l}_k) > 0$
  • 一致性（Consistency）：
    • 静态策略：$A = \bar{a} \implies Y = Y^{\bar{a}}$
    • 动态策略：$A_k = g_k(\bar{A}_{k-1}, \bar{L}_k) \ \forall k \implies Y = Y^g$
• 可识别性结论：若序贯可交换性、正性、一致性成立，则 $E[Y^g]$ 可通过 g-方法（g-formula/IP加权/g-估计）识别。

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19.5 部分策略下的可识别性（Identifiability Under Subsets of Strategies）

• 图形化检验：使用 SWIGs（单例干预图）验证可识别性。
• 关键概念：
  • 静态序贯可交换性（较弱条件）：

    $$Y^{\bar{a}} \perp\!\!\!\perp A_k \mid \bar{A}_{k-1} = \bar{a}_{k-1}, \bar{L}_k$$

    仅保证静态策略 $E[Y^{\bar{a}}]$ 可识别。
  • 动态策略可识别性：依赖因果图结构：
    • 图19.5（无 $W_0$）：所有策略可识别（图19.7, 19.9）。
    • 图19.6（有 $W_0$）：仅静态策略可识别（图19.8），动态策略因路径 $A_0 \leftarrow W_0 \rightarrow L^g_1 \rightarrow Y^g$ 未阻断而不可识别（图19.10）。
• 示例：图19.11（含 $L_1 \rightarrow Y$）中，无任何策略可识别。

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19.6 时变混杂（Time-Varying Confounding）

• 定义：变量 $L_k$ 同时受前处理影响，且与未来处理和结局相关，需调整以阻断后门路径。
• 混杂源：实际混杂常源于未测变量 $U_k$，但 $L_k$ 作为代理混杂因子。
• 调整要求：需测量整个协变量史 $\bar{L}_k$。
• 挑战：无法实证验证是否所有混杂已测量（图19.2 vs. 图19.3）。
• Fine Point 19.3：
  • 时变混杂存在 $\iff E[Y^{\bar{a}} \mid L_0] \neq E[Y \mid \bar{A} = \bar{a}, L_0]$。

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结论

1. 因果效应定义：时变处理的因果效应需通过处理策略对比定义（如 $E[Y^{\bar{a}}] - E[Y^{\bar{a}'}]$），且效应非唯一。
2. 识别核心：序贯可交换性 + 正性 + 一致性是识别 $E[Y^g]$ 的基础。
3. 可识别性依赖结构：
   • 静态策略可识别性较动态策略更易满足。
   • 未测混杂（如 $U_k$ 或 $W_0$）会破坏可识别性。
4. 时变混杂调整：需测量 $\bar{L}_k$，但标准方法可能偏倚，需用 g-方法（第21章）。

注：所有数学公式严格按 LaTeX 格式书写，技术术语保留英文以确保准确性。