Chapter_18

Aaron L9/17/25About 5 min

### 第18章：变量选择与高维数据 **核心问题**：因果推断中调整变量 \(L\) 的选择标准与预测分析不同，需避免引入偏差并确保条件可交换性。

因果推断 vs. 预测分析：
- 因果推断：需调整混杂因子 (L) 以实现条件可交换性（(Y^a \perp !!! \perp A \mid L)）。未调整混杂时，关联度量（association measure）无法解释为因果效应。
- 预测分析：仅需最大化预测准确性（如预测戒烟 (A) 与体重增加 (Y) 的关联），无需考虑混杂或因果解释。
  例：预测模型包含协变量（戒烟、基线体重、收入），但不区分是否为混杂因子。
- 关键区别：混杂（confounding）是因果概念，不适用于纯关联性估计。

调整某些变量可能引入偏差，即使样本无限且无约束：

偏差来源分类：
- 碰撞子（Collider）调整：
  - 图18.1中调整 (L)（碰撞子）会打开路径 (A \rightarrow L \leftarrow U \rightarrow Y)，导致选择偏差（selection bias）。
  - 零效应下（(A) 不影响 (Y)），调整 (L) 仍产生非零关联（偏差）。
- 中介变量（Mediator）调整：
  - 图18.4中调整中介 (L)（如 (A \rightarrow L \rightarrow Y)）会阻断间接路径，导致过度调整（overadjustment），高估直接效应但低估总效应。
- 工具变量（Instrument）调整：
  - 图18.7中调整工具变量 (Z) 可能放大未测混杂 (U) 的偏差（Z-bias），但可能减少偏差（不确定性高）。
时间顺序的局限性：
- 即使变量在治疗 (A) 后测量（post-treatment），仍可能为混杂（图18.5：(L) 阻断后门路径 (A \leftarrow U \rightarrow L \rightarrow Y)）。
- 核心挑战：数据无法区分碰撞子、混杂或中介，需依赖领域知识排除偏差诱导变量。
预处理变量的风险：
- M-偏差：图18.6中调整预处理碰撞子 (L) 引入偏差。
- 偏差放大（Bias Amplification）：调整工具变量 (Z) 可能放大未测混杂 (U) 的影响（线性模型下必然发生）。

结论：避免调整所有可用变量 (X)；需结合因果图排除偏差诱导变量。

假设：已通过领域知识确保 (X) 包含所有混杂 (L) 且无偏差诱导变量，满足可忽略性（ignorability）和正值性（positivity）。

高维挑战：
- 传统参数模型（如GLM）在 (X) 维数高时必然误设（misspecified）。
- 机器学习（ML）方法（如Lasso、随机森林、深度学习）可灵活估计条件期望：
  - 倾向得分 (\pi(X) = \Pr(A=1 \mid X))
  - 结果回归 (b(X) = E[Y \mid A=1, X])
- ML优势：通过交叉验证优化预测，但需与双重稳健估计结合。

目标：估计 (\psi = E[Y^{a=1}])，需满足偏差 (\ll 1/\sqrt{n}) 以确保Wald置信区间有效。

双重稳健估计量（AIPW）：
[
\hat{\psi} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left[ \hat{b}(X_i) + \frac{A_i}{\hat{\pi}(X_i)} (Y_i - \hat{b}(X_i)) \right]
]
- 优势：偏差取决于乘积误差 (\left( \frac{1}{\hat{\pi}(X)} - \frac{1}{\pi(X)} \right) \times ( \hat{b}(X) - b(X) ))，可降至 (O(n^{-1/2}))。
样本分割（Sample Splitting）与交叉拟合（Cross-fitting）：
1. 将样本随机分为训练集（训练 (\hat{b}(X)), (\hat{\pi}(X))）和估计集（计算 (\hat{\psi}))。
2. 交换角色重复估计，取平均得交叉拟合估计量 (\hat{\psi}_{\text{cross-fit}})。
3. 统计性质：
  - 条件于训练数据，估计量渐近正态。
  - 若 (\hat{b}(X)) 和 (\hat{\pi}(X)) 收敛速率满足 (\alpha + \epsilon > 1/2)，则偏差为 (o(n^{-1/2}))。

优势：结合ML的灵活性与双重稳健性，实现有效推断。

双重稳健ML的局限：

实践建议：